Зачем разработаны интегралы и дифференциалы, какое математическое действие является основой для их создания и какова их значимость в естественных и технических науках?

8 Answers

1. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   В отличие от других ответчиков я начну с интеграла, а не с производной. Интеграл в жизни имеет конкретный физический смысл. Это площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс Х и графиком функции. Далеко от жизни? Сейчас приблизимся. Представим себе машину, которая едет. Отложим по оси Х время в пути, а по Y — скорость в каждый конкретный момент времени, и начертим график скорости от времени. Если скорость постоянная, это будет горизонтальная прямая. Фигура, ограниченная этой прямой и осью Х, будет прямоугольником. Ширина прямоугольника — время в пути, а высота — скорость машины. Ширина*высота=площадь. Но при этом время*скорость=расстояние. Т.е. расстояние равно площади! И пройденное расстояние — это интеграл от скорости.
   Теперь наступает волшебный момент математики. Как calcular путь, который will пройдет motorcar, если его скорость высока изменяется и его trajectory извилистые sprial? Это на самом деле очень просто. Потому что ничего не changed — мы просто должны найти площадь shape на diagram! Как будем искать эту площадь — это не важно. Мы можем просто contar cells на paper (это будет numerico integracion, которое всегда будет приближенным). А если скорость descrito функция от tiempo — мы можем найти ее integral и сразу же получить точный ответ.
   Абберацирование — это операция, которая является противоположностью аггрегационному процессу. Если взять производную от функции, описывающей расстояние от времени, полученную после интегрирования скорости, мы получим обратно скорость. Именно та самая скорость, с которой меняется пройденное расстояние автомобиля. В настоящее время скорость высокая, километровые столбы мелькают, и пройденное расстояние быстро растет, но когда скорость уменьшается, пройденные километры суммируются медленно. На графике зависимости пути от времени скорость представлена наклоном самого графика. Если график направлен вверх, скорость положительна, мы движемся вперед и расстояние увеличивается. Если график направлен вниз, скорость отрицательна, мы движемся назад, а расстояние до точки старта уменьшается. Если график является горизонтальной линией (наклона нет), скорость равна нулю, мы стоим на месте и расстояние не меняется. Немного решил добавить.
   Вообще интеграл в изменяющихся физических процессах очень востребован. И какая-то жизненная ситуация описывается любым процессом.Это, например, количество воды, которое протекло через трубу в известный бассейн при переменном напоре. Или количество потребленной электроэнергии, когда нагрузка на сеть постоянно меняется. Или сколько градусов нагрелась вода в кастрюле при регулировке мощности плиты.Любой изменяющийся во времени процесс можно интегрировать и получить полезный результат. То же самое относится и к дифференциалам, которые показывают скорость изменения общего результата.Любой изменяющийся во времени процесс можно интегрировать и получить полезный результат. То же самое относится и к дифференциалам, которые показывают скорость изменения общего результата.

   - Сен 09, 2023 | Ответить

2. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Одной из первых важных и сложных задач, которую не удавалось решить без использования новых инструментов, была задача о брахистохроне. Эту задачу можно сформулировать так: какой должна быть форма ледяной горки, чтобы материальная точка скатывалась по ней за минимальное время. Удивительно, ответ на эту задачу оказался неожиданным — это дуга циклоиды.
   Эту задачу поставил один из членов знаменитой семьи Бернулли. Её решение также искали Лопиталь, Лейбниц и Ньютон, которые были известны своими научными достижениями. Можно сказать, что именно благодаря их работам дифференциальное и интегральное исчисление развились в современной форме.
   Если вам интересно узнать больше об этом, вы можете прочитать статью В.М. Тихомирова или более подробное и понятное изложение в его книге «Рассказы о максимумах и минимумах», которая доступна даже для школьников.

   - Сен 25, 2023 | Ответить

3. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Интеграл — это идея, а дифференциал — реализация этой идеи на практике. Сам процесс реализации и его результат оказывают обратное воздействие на исходную идею, вследствие чего она изменяется. Вот так все происходит в нашем мире: он волнуется, колеблется, сражается и успокаивается, чтобы затем снова через идею изменений прийти к устойчивому равновесию. Все равно!

   - Ноя 08, 2023 | Ответить

4. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Зенон, черепаха и Ахиллес останутся в истории, но все изменилось, когда Ньютон представил миру дифференциальное исчисление. Оно радикально изменило восприятие окружающей реальности и позволило людям мыслить по-новому.

   - Ноя 10, 2023 | Ответить

5. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Давайте начнем сначала, с производной, потому что о ней говорят еще в школе. Школьное определение «производной» гласит «Производная — это отношение приращения функции к приращению аргумента». Проще говоря, это отношение изменения функции к изменению аргумента, но это может быть непонятно для некоторых людей. Функция — это величина, которая меняется в зависимости от другой величины, которая называется аргументом. То есть производная показывает, во сколько раз функция изменяется быстрее или медленнее, чем аргумент. Теперь давайте поясним, что такое «приращение». На самом деле, производная — это отношение дифференциалов, а дифференциал — это бесконечно малое изменение величины, то есть разница между начальным и конечным значениями, при условии, что эти значения очень близки друг к другу. Мы можем рассматривать изменение функции на очень маленьких участках. Самый очевидный пример в естественно-научной области — это зависимость изменения расстояния, пройденного объектом, от времени. Если мы разделим бесконечно малое изменение расстояния на соответствующее бесконечно малое изменение времени (dS/dt, где буква d означает, что мы рассматриваем дифференциалы), то получим мгновенную скорость — скорость, которую объект имеет в конкретный момент времени. Конечно, эта скорость может меняться в другие моменты времени, и для этого уже применяется интеграл. Интегрируя дифференциальное уравнение, мы суммируем по некоторой переменной. Снова обращаясь к примеру со скоростью, если мы проинтегрируем по dt в определенных пределах (эти пределы — это значения времени, но уже не очень близкие друг к другу, а реальные значения, например, от 0 до 60 секунд), то получим среднюю скорость объекта в течение этой минуты. Применение дифференциалов и интегралов в науках бесчисленно, и этот пример с движением скорости является только простейшей иллюстрацией. Вклад этого математического аппарата в естественные науки нельзя переоценить.

   Дифференциально-интегральные исчисления и их важность
   Математический анализ, или дифференциально-интегральные исчисления, представляет собой обширную область математики, включающую в себя множество понятий и методов. Оно является основой для изучения как в естественно-научных специальностях, так и в математической науке в целом.
   Описанные выше понятия и методы могут быть легче поняты, обратившись к учебнику по физике или математике на школьном уровне. Там вы сможете найти графики, отображающие зависимость расстояния от времени, на которых будут показаны дифференциалы и соответствующие им объяснения. Это поможет вам лучше понять, о чем идет речь в моем описании.

   - Дек 02, 2023 | Ответить

6. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Производная — это показатель скорости изменения функции. Наиболее простым примером является изменение позиции тела. Если мы движемся со средней скоростью 5 м/с, то через каждую секунду мы будем находиться на расстоянии 5 м, 10 м, 15 м и т. д. И именно изменение расстояния в единицу времени будет являться производной от нашего местоположения — то есть скоростью 5 м/с. Если же мы имеем неравномерное движение, например, свободное падение в гравитационном поле Земли, то в начале наша скорость будет 9,81 м/с, затем 19,62 м/с, и так далее. В этом случае скорость является производной от изменения местоположения, а производная скорости — это ускорение (в данном случае ускорение свободного падения), которое показывает, насколько быстро скорость меняется в единицу времени.
   Интеграл — это математическое действие, обратное дифференцированию. Путем интегрирования функции скорости и зная начальное положение, мы можем определить функцию координат. Также интеграл применяется во многих областях сложных вычислений, таких как строительство, проектирование, моделирование, электроника и т.д. Например, рассмотрим задачу построения дороги с минимальной длиной от точки A до точки B, но чтобы она не проходила через впадины. Производная от функции мощности источника тока поможет найти оптимальное значение тока. Также интеграл используется для расчета формы провисания моста, определения формы опор и утолщений опорных столбов с целью достижения максимальной надежности при минимальных затратах. И так далее.

   - Дек 02, 2023 | Ответить

7. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Производная – это мгновенная скорость df/dt — точка в пространстве времени. Вы же periodically look at the speedometer?
   Интеграл – это сумма бесконечно малых, которая воплощается в конкретный объект.

   - Дек 04, 2023 | Ответить

8. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Интеграл и дифференциал являются основными инструментами математического анализа и имеют широкое применение в естественных и технических науках. Интегралы используются для нахождения площадей под кривыми, объемов тел и других геометрических объектов. Они также позволяют решать различные задачи оптимизации, например, определение наибольшего или наименьшего значения функции. В физике интегралы играют важную роль в нахождении работы, энергии, потенциала и других характеристик физических систем. Дифференциалы, с другой стороны, используются для описания изменений функций и уравнений в малом приращении. Они позволяют находить скорость изменения какой-либо величины и решать задачи о касательных, нормалях, скоростях и ускорениях. В физике дифференцирование используется для нахождения мгновенных значений скорости, ускорения, тока и других величин. Таким образом, интегралы и дифференциалы являются базовыми инструментами для решения широкого спектра задач в естественных и технических науках, позволяющими описывать и анализировать изменения и характеристики различных систем и процессов.

   - Дек 05, 2023 | Ответить