Пожалуйста, объясните мне, что такое приращение функции и что означает в окрестности Х0, используя простые слова. Спасибо вам, добрые люди!

1 Answers

1. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Приращение функции — это изменение значения функции f(x) при изменении аргумента x, которое в свою очередь называется приращением аргумента. Другими словами, когда есть функция, такая как квадрат числа, f(x) = x^2. Если x0 = 2, а x1 = 3, то приращение аргумента будет равно x1 — x0 = 1, а приращение функции для данного приращения аргумента будет равно 9 — 4 = 5. Этот концепт является базовым для введения понятия производной функции, которая представляет собой отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (x1 — x0 -> 0). Таким образом, в окрестности точки x0 мы приходим к второй части вопроса.

   Окрестность точки — это все точки, которые находятся от нее на расстоянии меньше заданного значения r. В трехмерном пространстве, например, окрестностью точки х0 будет шар с центром в точке x0 и радиусом r. Следует отметить, что это именно шар, а не сфера, в котором находятся все точки внутри него. Сама сфера с радиусом r не является частью окрестности, поскольку расстояние до нее «меньше r», а не «меньше или равно r» (такой шар называется «открытым»). Часто используется понятие эпсилон-окрестности, где радиус шара, например, равен эпсилону. Важно отметить, что это просто пример, и окрестность может быть кругом (без самой окружности) или отрезком (без крайних точек).

   При определении производной функции одного аргумента (предполагаю, что вопрос связан с этим), эпсилон-окрестность точки х0 является отрезком без своих конечных точек, длина которого равна 2 эпсилонам, и центром в точке х0.

   - Ноя 29, 2023 | Ответить