Для чего нужны комплексные числа и что они представляют? Комплексные числа являются числами, которые состоят из действительной и мнимой части. Они используются для решения математических задач, которые не могут быть решены с помощью обычных действительных чисел. Комплексные числа имеют большое применение в различных областях, таких как физика, инженерия и информатика, и помогают решать уравнения с комплексными корнями. Они также используются для представления векторов и сигналов в компьютерной графике и сигнальной обработке.

6 Answers

1. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Зачем они нужны?
   Если речь идет о применении в повседневной жизни, то они не нужны. Также как и многие другие сложные математические формы (логарифмы, радикалы, …). Ведь в жизни нам не нужны сложные переходы, мы используем функции только интуитивно — вы не рассчитываете параболу по формуле, кидая предмет, вы просто используете знание траектории полета и ее зависимости от угла и силы. По крайней мере, я математик по образованию, но не могу придумать способ применения комплексных чисел.
   А так, они применяются, например, в физике, в частности, в волновых явлениях.
   Могу сказать, что просто обозначать i^2 как -1 и считать это его сущностью, я считаю, не очень правильно. Красота комплексных чисел раскрывается в их участии в формулах, в последовательности преобразований. Например, посмотрите на эту прекрасную связь между показательной и тригонометрической функциями:
   {displaystyle e^{ix}=cos x+isin x}
   Или вот это, насколько это совершенно и прекрасно, ради чего стоит строить храмы и поклоняться ему как источнику всего, ожидая откровения:
   e^{{ipi }}+1=0
   e^{{ipi }}+1=0

   - Ноя 24, 2023 | Ответить

2. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Комплексные числа — это числа вида a + ib, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, которая обладает свойством i^2 = -1. Они нужны для работы с такими математическими объектами, как корни из отрицательных чисел, решение уравнений, описание колебательных процессов и преобразований в физике, электротехнике, теории сигналов и других областях науки и техники. Например, комплексные числа активно применяются в алгебре, анализе, теории вероятностей, в процессе решения уравнений и моделирования сложных физических явлений.

   - Дек 07, 2023 | Ответить

3. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Комплексные числа являются неотъемлемой частью моделирования скрытых процессов. Например, они позволяют учесть поток тока, который протекает в электрической цепи, и его взаимодействие с различными элементами, такими как сопротивления и конденсаторы и так далее.

   - Янв 11, 2024 | Ответить

4. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Комплексные числа — это пара действительных чисел и применяются везде, где вам необходимо работать с… парой действительных чисел. Если говорить научным языком, то речь идет о множестве, которое является векторным пространством над R с введенной операцией умножения. Это определение подходит для нескольких математических объектов, включая комплексные числа.

   Впервые необходимость в использовании комплексных чисел возникла при решении кубических уравнений с действительными корнями и коэффициентами. Однако при использовании формулы Кардано для промежуточных вычислений потребовался дополнительный объект, квадрат которого равен -1. Этот объект позже получит название мнимой единицы – i, а числа вида a + b*i, содержащие этот объект, стали называться комплексными. Позже необходимость в использовании комплексных чисел подтвердилась при формулировании Основной Теоремы Алгебры, основная идея которой заключается в том, что количество корней многочлена равно его степени.

   Дальнейшие исследования показали, что использование комплексных чисел в тригонометрической и экспоненциальной форме является удобным способом описания различных колебательных и периодических процессов. Благодаря этому, комплексные числа получили широкую популярность, особенно в электротехнике. Они также эффективно применяются для описания композиций поворотов, 2D графики и даже в 3D графике с использованием кватернионов.
   Тем не менее, возникает вопрос, можно ли обойтись без комплексных чисел? Ответ — да, это возможно. Однако, с использованием комплексных чисел можно более удобно и кратко описать множество явлений. Они активно применяются в различных практических областях, таких как ТОЭ, 2D графика, а также в фундаментальных дисциплинах, включая магнитодинамику, квантовую механику и Общую Теорию Относительности.
   В общем, в конструировании числовых систем нет ничего необычного: целые и рациональные числа также могут быть представлены парой. А вот комплексные числа формируются из пары действительных чисел. Это, кстати, далеко не единственная двумерная алгебра, которую можно построить над действительными числами. Также можно создавать пары чисел, чтобы получить гиперкомплексные числа, например, дуальные числа Клиффорда. Они записываются в виде: a + ε * b, где ε^2 = 0, но ε ≠ 0. Или можно использовать расщепляемые комплексные числа (также известные как паракомплексные, контркомплексные или гиперболические числа), где каждое число представлено в виде a + j * b, где j^2 = +1, но j ≠ 1. Возможностей двумерных алгебр существуют гораздо больше, чем эти предложенные варианты.
   Зачем все это необходимо? Числовые системы — это, можно сказать, также «языки», «словами» которых можно создавать определенные формальные высказывания и описывать реальный мир.
   Математика представляет собой именно язык.
   Математика — это язык.

   - Янв 16, 2024 | Ответить

5. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   В мире комплексных чисел существует множество определений и свойств, которые невозможно перечислить все одним списком. Однако, одним из важных аспектов комплексных чисел является их роль в алгебраическом замыкании вещественных чисел. Проще говоря, комплексные числа являются «минимальной» системой, в которой возможно решение всех алгебраических уравнений.
   Например, уравнение x^2-1 = 0 может быть легко решено среди вещественных чисел. Его корнями являются +1 и -1. Однако, уравнение x^2+1 = 0 невозможно решить среди вещественных чисел. Но если мы добавим «воображаемую единицу» i, которая определяется как i^2 = -1, то все квадратные уравнения станут разрешимыми (это следует из школьной формулы для решения квадратных уравнений). Более продвинутые математики смогут найти решения для уравнений 3-й степени по формуле Кардано или уравнений 4-й степени по формуле Феррари.
   Но существует теорема (основная теорема алгебры), которая утверждает, что для любого алгебраического уравнения вида a+ib можно найти как минимум одно решение. Более того, общее количество таких решений (с учетом их кратности) будет точно n.
   «С учетом кратности» означает, что, допустим, уравнение (x-1)^n =0 имеет корень 1, который появляется n раз. То есть он имеет кратность n.
   «С учетом кратности» означает, что, допустим, уравнение (x-1)^n =0 имеет корень 1, который появляется n раз. То есть он имеет кратность n.

   - Янв 26, 2024 | Ответить

6. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Примерно с такой же целью используются отрицательные, иррациональные и рациональные числа — чтобы ловко и умело решать различные задачи, которые не могут быть решены с использованием только простых и умозрительных натуральных чисел.

   - Янв 30, 2024 | Ответить