Докажите, что сумма медиан треугольника АВС равна нулю, где АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника АВС.

2 Answers

1. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Для доказательства равенства аа1+вв1+сс1=0, где аа1, вв1, сс1 — медианы треугольника АВС, воспользуемся свойством медиан треугольника. Свойство медиан треугольника гласит, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. Обозначим точку пересечения медиан как М. Тогда, по свойству медиан, AM:MA1 = BM:MB1 = CM:MC1 = 2:1. Рассмотрим выражение аа1+вв1+сс1. Мы можем представить каждую медиану в виде суммы двух векторов: аа1 = ам + ма1, вв1 = вм + мв1, сс1 = см + мс1. Подставим эти выражения в исходное равенство: (ам + ма1) + (вм + мв1) + (см + мс1) = 0. Перенесем все векторы с одной стороны: ам + вм + см = -ма1 — мв1 — мс1. Так как точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, то ам = -2ма1, вм = -2мв1, см = -2мс1. Заменим эти значения в уравнение: -2ма1 + (-2мв1) + (-2мс1) = -ма1 — мв1 — мс1. Оба выражения равны, поэтому аа1 + вв1 + сс1 = 0. Таким образом, доказано, что аа1 + вв1 + сс1 = 0 для медиан треугольника АВС.

   - Ноя 08, 2023 | Ответить

2. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Эта задача требует сложения векторов, а не длин медиан.
   aa1 = (ab + ac) /2
   bb1 = (ba + bc) /2
   cc1 = (ca + cb) /2
   Важно учесть, что ab + ba = 0 , ac + ca = 0 и так далее.
   Таким образом, получаем
   aa1 = (ab + ac) /2 + (ba + ab) /2 = (ab + ba) /2 + (ac + ca) /2 = 0
   bb1 = (ba + bc) /2 + (ab + ba) /2 = (ab + ba) /2 + (bc + cb) /2 = 0
   cc1 = (ca + cb) /2 + (ac + ca) /2 = (ac + ca) /2 + (bc + cb) /2 = 0
   В итоге получаем aa1 = bb1 = cc1 = 0 .

   - Дек 22, 2023 | Ответить