Почему длина диагонали квадрата со стороной один равна квадратному корню из двух?

6 Answers

1. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Диагональ квадрата со стороной один равна корню из двух из-за теоремы Пифагора. По этой теореме длина диагонали квадрата равна квадратному корню из суммы квадратов его сторон. В данном случае, сторона квадрата равна 1, поэтому сумма квадратов сторон равна 2. Извлекая квадратный корень из этой суммы, получаем корень из двух — значение диагонали квадрата.

   - Окт 13, 2023 | Ответить

2. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Этот факт был открыт еще во времена пифагорейцев и говорит о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Другими словами, не существует такой единицы измерения, в которой сторона и диагональ квадрата могли бы быть записаны в виде целых чисел.
   Давайте нарисуем квадрат (зеленый) и используем его диагональ, чтобы построить второй квадрат (красный).
   Поскольку красный квадрат состоит из тех же кусочков, что и зеленый, но в удвоенном количестве, то его площадь в два раза больше площади зеленого квадрата.
   Предположим, что существует единица измерения, в которой сторона и диагональ квадрата могут быть выражены целыми числами. Тогда мы смогли бы разделить оба квадрата на единичные квадраты.
   В связи с тем, что правый квадрат дважды больше первого, его составляющие квадратики можно разделить пополам.
   Каждая из половин содержит столько же квадратиков, сколько зеленый квадрат. И такое деление можно сделать и по перпендикулярной оси, сохраняя симметрию изображения.
   Теперь эти половины также разделены пополам. И каждая из новых половинок равна зеленому квадрату. Следовательно, и зеленый квадрат можно разделить пополам.
   Мы можем применить эти же рассуждения к зеленому квадрату, как и к красному, и разделить его еще раз пополам, поскольку он также является квадратом.
   Мы можем повторять эти рассуждения сколько угодно раз. Следовательно, если существует единица измерения, которой можно измерить как сторону квадрата, так и его диагональ, то количество таких единиц в стороне и в диагонали будет бесконечное число, делящееся на 2. Это означает, что маленькие квадратики, изображенные нами, должны быть бесконечно малыми.

   Одним из интересных свойств квадрата является то, что его сторона и диагональ несоизмеримы. Это означает, что их отношение не является рациональным числом. Другими словами, невозможно представить длину стороны квадрата в виде простой дроби, содержащей конечное число цифр после запятой.
   Если посмотреть на квадрат, можно увидеть, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны стороне квадрата. Из теоремы Пифагора следует, что квадрат диагонали равен сумме квадратов катетов.
   То есть, если обозначить сторону квадрата как «а» и диагональ как «d», то можно записать следующее уравнение:
   d^2 = a^2 + a^2
   Это уравнение можно упростить, выполнив арифметические операции:
   d^2 = 2a^2
   Теперь уравнение можно рассматривать в контексте соотношения между стороной и диагональю квадрата. Если поделить обе части уравнения на a^2, получится:
   (d^2) / (a^2) = 2
   Очевидно, что левая часть уравнения представляет собой отношение диагонали к стороне квадрата, а правая часть равна числу 2. Из этого следует, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть их отношение не может быть выражено как простая дробь.

   - Дек 13, 2023 | Ответить

3. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   По теореме Пифагора. Изначально эта идея была обнаружена практическим исследованием.
   1. Построим треугольник, у которого два катета равны друг другу и один из углов равен 90 градусов.
   2. От каждого катета отложим квадрат.
   3. Закрытую область каждого квадрата покроем той же площади плитками.
   4. Количество плиток, используемых для покрытия области квадрата, отложенного от гипотенузы, будет равно сумме плиток, используемых для покрытия областей квадратов, отложенных от каждого из катетов.
   При переходе к линейным мерам, площадь каждого квадрата, отложенного от катета, будет равна квадрату длины катета, а площадь квадрата, отложенного от гипотенузы, будет равна квадрату длины гипотенузы. Следовательно, длина гипотенузы будет равна корню из суммы квадратов длин катетов.
   Дополнение: скорее всего, для измерения меры не использовали плитку, а монеты и зерна, но это не меняет сути.

   - Дек 17, 2023 | Ответить

4. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Для квадрата нет необходимости применять полную теорему Пифагора. Возьмем квадрат со стороной 1. Построим диагонали, они разделят квадрат на 4 равных прямоугольных треугольника. У каждого из этих треугольников площадь будет равна 1/4 (четверть от всего квадрата со стороной «1»). Катеты этих треугольников (обозначим их как х) также известны: они равны половине диагонали квадрата (катет соединяет угол квадрата с его центром). С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, так как каждый катет равен х. Таким образом, S = (1/2) * (x^2). Кроме того, мы уже знаем, что площадь равна 1/4, следовательно, x = корень(1/2). Поскольку x — это половина диагонали, то D = 2 * x = 2 * корень(1/2) = корень(2). Также, решается задача на построение «как получить квадрат в два раза большей/меньшей площади, чем заданный». Для этого нужно построить квадрат со стороной, равной диагонали/половине диагонали заданного квадрата.

   - Дек 23, 2023 | Ответить

5. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   — Геометрия — это измерение, которое невозможно просто нарисовать квадрат и сказать, что его сторона равна единице.
   — Если сторона квадрата равна 1 мм, то его диагональ равна корню из двух миллиметров квадратных по теореме Пифагора.
   — Если сторона квадрата равна 1 см, то его диагональ равна корню из 200 миллиметров квадратных или 10 корню из двух.
   — Если сторона квадрата равна одному дециметру, то диагональ равна 100 корню из двух.
   — Если сторона квадрата равна 1 метру, то диагональ равна 1000 корень квадратный из двух.

   Чтобы узнать длину диагонали квадрата со стороной 1 мм, нужно вычислить длину диагонали квадрата со стороной 5 мм, которая по теореме Пифагора равна корню из 50 мм квадратных и (с точностью до тысячных) равна 7,071 мм или 5 корню из двух.
   Диагональ квадрата со стороной 1 метр равна 1 метру, 4 дециметрам, 1 сантиметру и 4,2 миллиметра.
   Вывод: диагональ квадрата равна корню квадратному из двух, умноженному на сторону квадрата в миллиметрах. Геометрия до трех метров измеряется в миллиметрах.

   - Дек 28, 2023 | Ответить

6. 0 Votes 0 Votes  0 Votes

   Я сначала подумал, что это связано с размерностью. Но можно найти прямоугольник (например, со сторонами 3 и 4), где диагональ будет вполне нормальным числом (5). А вот любой квадрат с нормальной стороной имеет ненормальную диагональ (иррациональное число). Возможно, это связано с кругом. Как известно, площадь круга так и не удалось вычислить. Но попробуйте найти эллипс с нормальной площадью. Если удастся, то, вероятно, окружность имеет особую структуру, которую нельзя измерить в нормальной системе исчисления…
   Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям».

   - Янв 25, 2024 | Ответить